邹生书——2021新高考圆锥曲线压轴题的解法背景及一般性结论

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2021新高考圆锥曲线压轴题的解法

背景及一般性结论

湖北省阳新县高级中学       邹生书

一、试题与解法

      2021年新高考卷第21题是一道圆锥曲线大题，第1问比较简单，考查利用双曲线定义求方程，注意轨迹只是双曲线的右支。第2问在线段等积式条件下，求两直线的斜率之和，所求隐含斜率和为定值。第2问的几何背景是圆锥曲线上的四点共圆，结论是所成四边形的对边(不平行时)或两对角线所在直线的倾斜角互补，当斜率均存在时，所在直线的斜率互为相反数。

  下面给出三种解法与读者朋友交流分享。

  法2：用直线的参数方程及参数的几何意义求解(下面参数方程中的x少打了数字二分之一）

二、圆锥曲线上四点共圆的一般性结论与统一证明

下面我们用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明。

方程②的几何意义是如下三种情形之一：表示一个圆、表示一个点、无轨迹。由题设知四个交点在方程②所表示的曲线上，故方程②表示圆。

评注（1）方程ax²+by²+cx+dy+e=0(a≠b)是对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线（圆除外）的统一形式，统一的证明必须有统一的表现形式。从统一的思想高度来思考问题，必须求大同存小异，考虑共性的东西而不要去顾及个性特征，否则，会限入到一些细枝末节中而不能自拨。本证法是数学形式化与数学本质的完美结合，证法简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美。

（2）k₁+k₂=0是四点共圆的充要条件，λ是一个与k₁,k₂相伴随的待定常数，只要存在这样的常数使方程①表示圆即可。

上述定理用文字表述即为：斜率均存在的两条直线与圆锥曲线（圆除外）有四个交点，则四个交点共圆的充分条件是两直线的斜率互为相反数。这是一个非常简洁的充要条件，运用这个定理可简解圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题。

对于上面这道高考题的第2问，若用定理则一步到位，立得所求结果。 

圆锥曲线之歌

 邹生书

圆锥曲线我的爱，就象菜花遍地开。

定值定点定直线，推广类比求拓展。

焦点弦，最青睐，四点共圆有妙解。

极点极线好舞伴，几何画板展风采。

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